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第九十九章 五种解法秀翻天（第1页）

“用二元整数环好像超纲了！”

第二种证法写完，钟杳沉吟了下，重新又抽了一张草稿纸，笔尖继续书写，

这一次，她没有向外去寻找更高等的代数数论工具，就停留在初高中基础neir的框架之内。

用最小反例纯反证，反证：假设存在k不是平方数，存在正整数解。

由正整数良序原理，取一组总和（s=ab）最小的反例（（A，B）），不妨（AgeBge1）。由整除条件：

她换了思路，用反证法做了一次精巧的封堵：

·······

与“k不是平方数”

的反证假设矛盾。

故不存在反例，k必为平方数。

“这个思考角度不常见，用的知识点却都是大家能掌握的！”

穆淮等钟杳最后一笔落定抬头，才开口好奇探问：“钟杳，你还有其他解法吗？”

钟杳点点头，略加思索，整理语言道：

“还可以做代数换元转化成佩尔方程。如果k不是平方数，（k^2-4）就不是完全平方，对应非齐次佩尔方程。它的解会由佩尔单位不断生成，可代回原方程检验，只有k为完全平方数，才能得到正整数a。”

她笔尖轻点纸面的方程轮廓，继续补充：

“也可以从二次曲线整点的几何角度看，这个方程本身就是一条双曲线。k是平方数时，曲线上有无穷多正整数整点；k非平方，即便存在无理点，也不存在整数整点，直接就能得到结论。”

“但是这两种方法和刚才的二元整数环一样，超纲了！不过这道题挺有意思，也算是让我对最近的学习内容贯穿融汇运用！”

“钟杳，竞赛考场不是完全禁用大学内容，而是不能直接拿来就用现成的大学定理。咱们要用，只是要把中间关键步骤全部自行补出来，不能直接搬结论而已。”

“也就是说竞赛里要是想用超纲定理，要从头到尾把整个定理重新推导一遍吗？”

钟杳抬眸问道，这倒是她的一定认知盲点。

穆淮轻轻摇了摇头，指尖敲了敲草稿纸边缘：“也不用完整重推整套大定理，分情况。

如果是竞赛大纲外的高级结论，不能直接甩一句‘由某某定理得证’就完事。

你要使用的，只是这个定理里面对你解题有用的那一小段核心性质，把这部分关键逻辑自己证出来就行，不用把整个宏大理论从头构建一遍。”

他顿了顿，说得更清楚：

“就拿刚才的佩尔方程、二次环范数来说。你不能直接写‘由二次整数环范数性质，故k为平方数’，阅卷人直接不给分。但如果你把本题用到的那几条关键性质，在这道题的框架内就地推导出来，再往下做题，那就是合法的，阅卷人只会拍案叫绝。”

“当然，代价很大。”

穆淮语气务实，这是超天才的炫技，不适于常规运用。

“对于大多数学生来说，很多大学定理背后的铺垫很长，就地补推导，篇幅会爆炸，步骤一多还很容易出现疏漏，反而不如用初等技巧简洁稳妥。

所以考场上即便你懂高等工具，大多只用来辅助自己看清题目的本质，写卷面上还是尽量选用初等证法。”