倍福文学

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第562章 曲率度规张量和偏微分方程（第3页）

别问我为什么这么密，这是为了武器效果优化的特殊构造。”

她继续输出公式：“对于简并物质，压力p≈（?2（5m_e））（3π2）^{23}ρ^{53}，其中m_e是电子质量。

代入ρ?得p?≈10^28Pa。那么?2p?t2在峰值时刻约为p?τ2≈10^52Pas2。”

“现在计算引力波应变的峰值。”

塔维尔调出第八个屏幕，“在距离r处，h_peak≈（Gc?）·（1r）·|?2Q?t2|，其中Q是质量四极矩。对于球体，Q～MR2。

但更精确地，对于压力驱动的引力波，有效源项是应力的体积积分：|?2Q?t2|～V·|?2p?t2|·R2，其中V是体积。”

她快速计算：“V=4πR33≈4.19×10^15m3。

于是|?2Q?t2|～4.19×10^15×10^52×（10^5）^2≈4.19×10^77kg·m2s2。”

“在r=1000km处，”

塔维尔调出第九个屏幕，上面出现最终计算结果，“h_peak≈（6.67×10^-11）（9×10^16）×（110^6）×4.19×10^77≈3.1×10^44×4.19×10^77≈1.3×10^122。”

她停顿了一下，看着已经彻底呆滞的洛德：“这个数值显然没有物理意义，因为它超过了普朗克应变h_Planck～1。

这说明我们的线性近似在τ这么短的时间尺度下完全失效，必须考虑完整的非线性爱因斯坦场方程。”

塔维尔调出第十个屏幕，上面开始出现张量分析的复杂符号：“在非线性情况下，度规扰动h_μν不再是小量。

我们需要直接数值求解完整的爱因斯坦方程：R_μν-（12）Rg_μν=（8πGc?）T_μν。

在球对称情况下，使用各向同性坐标，度规一般形式为：ds2=-A（r，t）c2dt2+B（r，t）（dr2+r2dΩ2）。”

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“场方程分解为两个独立方程：”

她继续无情地输出，“（1）??r（r2?B?r）=8πGc?·r2B2T_00，（2）??t（?B?r）=8πGc?·rBT_01。

对于我们的T_μν形式，这些方程需要数值求解。”

她调出第十一个屏幕，上面出现网格和差分公式：“使用有限差分法，将时空离散化为网格。时间步长Δt必须满足CFL条件：Δt≤min（Δrc）。

对于Δr～1m，Δt≤3.3×10^-9s，但我们需要解析τ=10^-12s的现象，所以需要使用自适应网格细化。”

洛德的眼神已经开始涣散。

塔维尔调出第十二个屏幕，上面出现特征值和稳定性分析：“数值求解时还需要处理约束满足问题。

爱因斯坦场方程包含4个约束方程：哈密顿约束和动量约束。

在演化过程中必须保持这些约束得到满足，否则解会发散。

我们使用BSSN形式化，引入辅助变量?=ln（B）4，K_ij是外曲率，?γ_ij=B^{-1}δ_ij，?A_ij=K_ij-（13）Kγ_ij，其中K=γ^ijK_ij。”

“演化方程为：”

她继续推进，“?_t?γ_ij=-2α?A_ij+L_β?γ_ij，?_t?=-αK6+L_β?，?_tK=-D_iD^iα+α（?A_ij?A^ij+K23）+4πGc?α（S+ρ）。

其中α是时移函数，β是位移矢量，S=γ^ijS_ij，ρ=n^μn^νT_μν，n^μ是法向量。”

她调出第十三个屏幕：“对于幽能屏蔽解除的边界条件，我们必须在τ时间内将T_μν从初始值过渡到最终值。

这通过引入光滑过渡函数实现：T_μν（t）=T_μν^final·Θ_τ（t）+T_μν^initial·（1-Θ_τ（t）），其中Θ_τ（t）=（1+erf（tτ））2，erf是误差函数。”