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第562章 曲率度规张量和偏微分方程（第2页）

在屏蔽期间，总能量-动量张量可以分解为：T_μν=T_μν^（m）+T_μν^（DE），其中上标m代表物质，DE代表幽能。

设计上要求T_μν^（DE）=-T_μν^（m）+ε_μν，其中ε_μν是微小修正项，用于维持拓扑稳定性。”

她调出第二个屏幕：“在屏蔽状态下，场方程简化为G_μν≈（8πGc?）ε_μν。

由于|ε_μν|?|T_μν^（m）|，时空近似平坦，度规接近闵可夫斯基度规：ds2=-c2dt2+δ_ijdx^idx^j，其中δ_ij是克罗内克δ符号。”

“当屏蔽解除时，”

塔维尔语速加快，“T_μν^（DE）在特征时间τ内衰减到零。这个衰减函数我们通常取为：f（t）=exp（-t22τ2），这样时间导数在t=0处连续。

于是总T_μν变为：T_μν（t）=T_μν^（m）[1-f（t）]+ε_μνf（t）。”

她调出第三个屏幕，上面开始出现偏微分符号：“现在我们要解随时间变化的爱因斯坦场方程。将度规写为背景平坦度规加扰动：g_μν=η_μν+h_μν，其中|h_μν|?1。

在谐波规范下，场方程线性化为：□?h_μν=-（16πGc?）[T_μν-（12）η_μνT^α_α]，其中□?=η^αβ?_α?_β是达朗贝尔算子。”

洛德的眼睛开始发直。

塔维尔继续无情地推进：“对于我们的球对称质量分布，假设物质能量-动量张量为理想流体形式：T_μν^（m）=（ρ+pc2）u_μu_ν+pg_μν，其中ρ是质量密度，p是压力，u_μ是四维速度。

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在物体静止的参考系中，u_μ=（-c，0，0，0）。于是T_00^（m）=ρc2，T_ij^（m）=pδ_ij，其他分量为零。”

她调出第四个屏幕：“现在我们考虑屏蔽解除过程。令S（r，t）=1-f（t）·g（r），其中g（r）是空间衰减函数，描述幽能场的空间分布。

那么完整的T_μν为：T_00=ρc2S（r，t），T_ij=pS（r，t）δ_ij。”

“将这一形式代入线性化场方程，”

塔维尔的手指飞舞，公式如瀑布般流下，“得到关于h_μν的波动方程。

对于横向无迹部分，即引力波部分，我们有：□?h_ij^TT=-（16πGc?）Σ_ij^TT，其中Σ_ij是应力的横向无迹投影。”

她调出第五个屏幕，上面出现积分符号：“在远场近似下，解为推迟势：h_ij^TT（t，x）=（4Gc?）∫d3xΣ_ij^TT（t-|x-x|c，x）|x-x|。”

“现在关键来了，”

塔维尔眼睛发亮，“对于突然出现的质量，Σ_ij的时间行为由S（r，t）的时间导数决定。

具体地，Σ_ij∝ρv_iv_j+pδ_ij，其中v_i是速度场。

在物体整体静止但引力效应‘出现’的情况下，主要贡献来自压力项的时间变化。”

她调出第六个屏幕：“压力p与密度ρ通过状态方程相关。

对于典型物质，p=Kρ^Γ，其中K是常数，Γ是绝热指数。当屏蔽解除时，ρ的有效值从近零跃变到实际值，导致p也发生跃变。”

“计算Σ_ij^TT的时间导数，”

塔维尔的声音里带着一种残忍的快意。

“我们需要考虑二阶时间导数：?2?t2[pS（r，t）]。由于S（r，t）包含exp（-t22τ2），其二阶导数在t=0处取极值：?2S?t2|_{t=0}=-1τ2。”

洛德已经开始揉太阳穴了。

塔维尔调出第七个屏幕：“代入具体数值。假设弹体质量M=10^20kg，约小型小行星，特征半径R=100km，屏蔽解除时间τ=10^-12s。

平均密度ρ?=3M（4πR3）≈7.16×10^12kgm3，这已经是中子星密度量级了——