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001 上一章注释001（第1页）

【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】

硬核程度：☆☆☆☆☆

涉及领域：计算理论

大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

以下开始：

首先，什么是可计算？

可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

为了方便描述，先行约定一下数学符号。

假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

比如，输入（3，4）输出12

输入（6，2）输出12

输入（0，6）输出0

这时，我们把这些输入数对叫做domain，输出的一个数叫做codomain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

mult:Z^2→Z

中间的这个→表示这个mult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”

吧，意思是每一个domain里的输入，都能对应一个codomain里的输出。

与全函数相对应的是，是“偏函数”

。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它（6，0）时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：

div:Z^2—Z

这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

后继函数：succ:N→N，succ（x）=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.

零函数：zero:Nn→N，zero（）=0。不管给它什么，它都输出0.

投影函数：projn:Nn→N，projin（x1，...，xn）=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22（1，3）=3。

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

我们定义一个叫“组合”

的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

f:Nn—N

具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数（x1，...，xm），那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

f·[g1，...，gn]:Nm—N

展开为：

f·[g1，...，gn]（x1，...，xm）=f（g1（x1，...，xm），...，gn（x1，...，xm））

举个栗子：

我们构造一个函数one，one（x）=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

one（x）=succ（0）=succ（zero（x））

即：succ·[zero]=one

验证一下：