倍福文学

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第一百零四章 淘汰（第1页）

第104章淘汰

陆沉不知道该怎么接这句话。

彭老师也没有等他接。

「不过，你证明里有一个地方可以再精简。」他从文件袋里抽出一张草稿纸，铺在讲台上，画了一个简图，「从Turán极图的稳定子类到同调群维数计算的那一步过渡，你用了一个辅助构造。其实如果你直接利用Turán图本身的分层结构，可以少绕一步。」

陆沉看着彭老师在草稿纸上画的那个简图。

那是一个比他的原证明更简洁的构造—把Turán图的r部划分直接对应到单纯复形的r维骨架，然后通过计算骨架的同调群维数来得到极值的下界。

这个构造绕开了他原来那个辅助商构造，节省了大约三分之一的推导长度。

他盯着那张图看了十几秒，然后抬起头。

「彭老师，这个构造如果推广到禁止任意图H的情况，还能用吗？」

彭老师的眼镜片后面闪过一丝光。

「你问到点子上了。对于一般的H，Turán图的分层结构不再直接对应于同调维数的极值。这也是为什么图兰定理的扩展形式埃尔德什—斯通定理的证明比经典图兰定理复杂得多。」

他把草稿纸折起来递给陆沉。

「这张你留着。推广的事，不急。先把经典情况吃透。」

陆沉接过草稿纸，折好夹进便签本里。

走出教室的时候，王雪松在走廊里等他。

王雪松手里拿着笔记本，翻到某一页，上面画着一个和彭老师刚才画的类似的图但方向不同。

王雪松画的是把极值图论问题转化为矩阵特徵值估计的思路。

「我刚才听彭老师讲你那第二种证明路径的时候，忽然想到的。」王雪松把笔记本递过来，「如果把图的邻接矩阵的特徵值和图的同调群联系起来，是不是可以建立一个统一的框架？」

陆沉看着王雪松笔记本上那张图。

图的邻接矩阵——拉普拉斯矩阵——特徵值分布——谱半径——与同调群的贝蒂数之间的不等式关系。

王雪松画的箭头从左上角一直连到右下角，中间经过了四五个中间步骤，每一步旁边都标注了需要证明的引理。

这不是一个随手的想法。

这是一个有完整骨架的研究提纲。

「你这个框架。」陆沉看完以后说，「如果建成了，能把极值图论和谱图论打通。」

王雪松把笔记本收回去，合上。

「我知道。但中间需要证的引理太多了，我一个人短时间内证不完。等集训结束，如果你有兴趣—

」

他没有说完。

陆沉说：「有兴趣。」

王雪松点了点头，把笔记本放进书包里，往食堂的方向走去。

走了几步又回头：「今天食堂有红烧带鱼，走快点。」

晚饭确实有红烧带鱼。

陆沉打了一份，坐在陈志远旁边吃。

陈志远今天异常安静，整个吃饭过程中只说了两句话，一句是这带鱼刺真多，另一句是帮我递一下醋。

陆沉知道他在想什么。

下午彭老师讲图兰定理的时候，陈志远一直在记笔记，记得很认真，但他记笔记的方式和其他人不一样。

他记的不是彭老师讲的内容本身那些内容讲义上都有。

他记的是彭老师在讲解过程中随口说的那些话：这个构造的关键在于找到合适的分层丶这里的估计如果改用另一种范数可能会更紧丶这个方向目前还没有人做过。

这些话彭老师说出来可能自己都没太在意，但陈志远把它们全记下来了。

晚自习的时候，陈志远把笔记本摊开，对照着彭老师课堂上说的那些还没有人做过的方向，一条一条地查资料。